Echivalența Matrici o matrice și b sunt echivalente dacă există nedegenerat

Matricele A și B sunt echivalente în cazul în care există matrici non-singular Q și T, care A = QBT.

Teorema 6.1. Dacă echivalentul matricei, rândurile lor sunt egale.

Dovada. Deoarece produsul nu depășește gradul de rândurile factorilor, atunci. Deoarece, atunci. Combinând cele două inegalități, obținem afirmația necesară.

Teorema 6.2. transformări elementare cu rânduri și coloane matricei A poate avea ca rezultat sub formă de bloc, unde - matricea identitate de ordine k, și 0 - matricea zero dimensiuni adecvate.

Dovada. Aici matricea A algoritm de reducere a spus medie. Numerele de coloană sunt indicate între paranteze, iar numerele de linie - în paranteze.

2. Dacă vom trece la pasul 4, în caz contrar continuați cu pasul 3.

3. Să transformăm șiruri, unde i = r + 1, ..., m, și cu coloane, unde j = r + 1, ..., n, i.

Creșterea r de 1 și du-te înapoi la pasul 2.

4. Dacă, atunci când i = r + 1, ..., m, j = r + 1, ..., n, apoi la sfârșitul anului. În caz contrar, vom găsi i, j> r, asta. Noi rearanja rândurile și coloanele, du-te înapoi la pasul 2.

Evident, algoritmul se va construi secvențe de matrici echivalente, acesta din urmă are o formă necesară.

Teorema 6.3. Matricele A și B de dimensiuni egale sunt echivalente dacă și numai dacă rangul lor egal.

Dovada. Dacă echivalentul matricei, rândurile lor sunt egale (Teorema 6.1). Să rândurile matricelor sunt egale. Apoi, există matrici non-singulare care unde r = RGA = rgb (Teorema 6.2). În consecință, și matricea A și B - sunt echivalente.

Rezultatele acestui articol vă permite să găsiți cea mai simplă formă a matricei unui operator liniar și bazele spațiilor în care matricea unui operator liniar este cea mai simplă formă. 6.3.2