Operatorii liniare și matrici

Pentru operatorul nedegenerata operatorul invers al B, astfel încât AB = BA = I. pentru că atunci când este multiplicată operatori liniari ai matricei sunt multiplicate, iar operatorul de identitate este matricea identitate, operatorul invers matrice =.

Matricea de transformare a unui operator liniar cu o schimbare de bază

A: X Y, dimX = n, Dimy = m

e, e, e - prima bază în X, f, f, ..., f - secundă în X

g, g, ..., g - prima bază în Y, h, h ,, h - în a doua bază Y

Coeficienti, matricea

numita matrice transformare de coordonate la trecerea de la e bază, e, e la bază f, f, ..., f.

Ia un arbitrar vector x X și să se extindă peste vectorii ambelor baze, adică

coordona matricea de transformare P în ecuația (3) non-degenerate. deoarece altfel ar avea o dependență liniară între coloanele sale, și deci între vectorii f, f, ..., f.

unde - matricea operatorului în bazele și.

Vom nota cu matricea P transformare de coordonate la trecerea de la e bază, e, e la bază f, f, ..., f, prin Q - matricea de transformare de coordonate la trecerea de la g. g, ..., g până la h, h ,, h, apoi

Comparând această expresie (5), putem concluziona că

Luați în considerare A: X X. Fie

e, e, e - prima bază X, f, f, ..., f - secundă X.

matrice echivalente și similare

Două matrici dreptunghiulare A și B de dimensiuni egale numite echivalente. dacă există două R degenerate și matrice pătratică S, astfel încât

Din (7) rezultă că cele două matricele corespunzătoare aceluiași operator liniar în diferite baze de spații X și Y sunt echivalente. Converse este de asemenea adevărat: dacă matricea A corespunde operatorului A în anumite baze de spații X și Y, iar matricea B este echivalentă cu matricea A, corespunde aceluiași operator liniar în alte baze X și Y.

Astfel, fiecare operator liniar otobrazhayuschemuXvY corespunde unei clase de matrici echivalente.

Teorema (matrici Criteriul de echivalență). Pentru doua matrice dreptunghiulare de aceeași mărime sunt echivalente dacă și numai dacă au același rang.

Necesitate. Atunci când înmulțirea orice matrice la orice matrice non-singular nu se schimba rangul său.

, rg C rg A ,, rg A rg C.

Locul este produsul a două matrici dreptunghiulare de rang nu depășește oricare dintre factorii.

Puteți arăta contrariul, adică, că matricea de rang același echivalent. Demonstrăm mai mult că fiecare matrice de rang r echivalent cu matricea

Suficiență. Să presupunem că o matrice dreptunghiulară de dimensiune m n. Acesta definește un operator liniar A, cartografierea spațiului X cu e de bază, e, e în spațiu Y cu bază g. g, ..., g. Vom nota cu r numărul de vectori liniar independenți printre imaginile de bază vectorilor Ae, Ae, ..., Ae. Fără a pierde din generalitate, putem presupune că vectori liniar independenți sunt Ae, Ae, ..., Ae, (altfel puteți renumerota vectorii de bază). Alți vectori Ae, Ae, ..., Ae exprimate liniar prin ele:

Definim un spațiu liniar X este baza noua f, f, ..., f după cum urmează:

Vectorii h, h ,, h pe ipoteza liniar independente. Supliment-le cu unele vector h ,, h la Y de bază și consideră matricea operatorului A în noile baze f, f, ..., f și h, h ,, h.

Coeficienții coloanei i-lea al acestei matrici coincid cu coordonatele vectorilor în bază h, h ,, h. Conform (9), (10), operatorul matricei A va coincide cu I. pentru că matricea A și I corespund unuia și aceluiași operator, acestea sunt echivalente.

Toate dreptunghiular dimensiune matrice m n matrice de rang I rekvivalentny și, prin urmare, echivalent.

Să presupunem acum că operatorul A funcționează în X. spațiu

Definiția. O matrice similară se numește matricea B, dacă există o matrice P nesingular, care

și anume dacă A este similar cu B, atunci B este similar cu A. Dacă

Deoarece semnul similaritate îndeplinește condițiile reflexivă, simetrică și tranzitivă, este o relație de echivalență.