Regula trei sigma - studopediya

Atunci când se analizează distribuția normală iese în evidență un caz special de important, cunoscut sub numele de regula trei sigma.

Scriem probabilitatea ca abaterea unei variabile aleatoare distribuită în mod normal, din valoarea așteptată este mai mică decât un D predeterminat:

Dacă luăm D = 3s, vom obține folosind tabele ale funcției Laplace:

Ie probabilitatea ca o variabilă aleatoare deviază de la așteptările sale matematice cu o valoare mai mare de trei ori abaterea standard este practic nulă.

Această regulă se numește regula de trei sigma.

Nu practica se crede că, dacă pentru unii - orice variabilă aleatoare este realizată de trei regula sigma, această variabilă aleatoare are o distribuție normală.

Exemplu. Trenul este format din 100 de vagoane. Greutatea fiecărei mașini - o variabilă aleatoare normal distribuită, cu media = 65 și m și abaterea standard s = 0,9 m locomotiva poate transporta greutatea compoziției nu mai mult de 6600 m, altfel este necesar să cârlig locomotiva a doua .. Găsiți probabilitatea ca a doua locomotiva nu este necesară.

Al doilea motor nu este necesară dacă abaterea de greutatea așteptată a compoziției (100 x 65 = 6500) nu depășește 6600-6500 = 100 m.

pentru că greutatea fiecărei mașini are o distribuție normală, atunci greutatea totală a compoziției va fi de asemenea distribuite normal.

Exemplu. O variabilă aleatoare X distribuită în mod normal, este definit de parametrii - a = 2 - așteptarea și s = 1 - deviația standard. Necesar pentru a scrie densitatea de probabilitate și de a construi graficul ei, găsiți probabilitatea ca X are o valoare în intervalul (1, 3), găsiți probabilitatea ca X se va abate (în valoare absolută) de la speranța de a nu mai mult de 2.

Densitatea distribuției este după cum urmează:

Găsim probabilitatea unei valori aleatoare care se încadrează în intervalul (1, 3).

Ne găsim probabilitatea de deviere accidentală de la valoarea așteptată cu o cantitate mai mare de 2.

Același rezultat poate fi obținut cu ajutorul funcției normalizat Laplace.

Teorema limită centrală a Lyapunov

Teorema .Dacă variabila aleatoare X este suma foarte mare număr de variabile aleatoare reciproc independente, impactul fiecăreia dintre care întreaga cantitate este neglijabilă, atunci X are o distribuție aproape de normal.

În practică, pentru majoritatea variabilelor aleatoare îndeplinește condițiile impuse de teorema lui Lyapunov.

3 aleatoare sistem variabile variabile aleatoare discutate mai sus sunt una-dimensionale, adică, determinată de un singur număr, dar există, de asemenea, variabile aleatoare, care sunt determinate de doi, trei, etc. numere. Aceste valori aleatoare sunt numite bidimensional, tri-dimensională, etc. În funcție de tipul inclus în variabilele aleatoare, sistemul poate fi discret, continuu, sau mixt, în cazul în care sistemul include diferite tipuri de variabile aleatoare. 3.1 Sistemul de două variabile aleatoare discutate mai în detaliu un sistem de două variabile aleatoare. Definiția. Legea distribuției variabilelor aleatoare se numește corelație, stabilirea relației dintre intervalul de valori posibile ale sistemului de variabile aleatoare și probabilitățile de apariție a sistemului în aceste domenii. Definiția. Funcția sistemului de distribuție a două variabile aleatoare este o funcție de două variabile F (x, y). împărțirea egală probabilitate de două inegalități X

Densitatea sistemului de distribuție a două variabile aleatoare

Definiția. Densitatea distribuției în comun a variabilei aleatoare bidimensionale (X, Y) este numit un al doilea derivat parțial mixt al funcției de distribuție.

Dacă știm distribuția densității, funcția de distribuție poate fi ușor de găsit de formula:

Distribuția bidimensională a densității non-negative și dublul integrală cu limite infinite ale densității bidimensională este egal cu unu.

Din cunoscută densitatea de distribuție în comun pot găsi densitatea de distribuție a fiecăreia dintre componentele variabilei aleatoare bidimensionala.

Legile de distribuție condiționate

Așa cum sa arătat mai sus, cunoscând legea distribuției în comun poate găsi cu ușurință legile de distribuție a fiecărei variabile aleatoare, parte a sistemului.

Cu toate acestea, în practică, reprezintă cea mai mare problemă inversă - legile de distribuție cunoscute ale variabilelor aleatoare pentru a găsi dreptul lor de distribuție în comun.

În general, această problemă este de nerezolvat, deoarece legea de distribuție a unei variabile aleatoare nu spune nimic despre relația de o asemenea magnitudine cu alte variabile aleatoare.

Mai mult decât atât, în cazul în care valoarea aleatoare dependente unele de altele, că legea de distribuție poate fi exprimată în termenii componentelor de distribuție a legilor, ca trebuie să stabilească o comunicare între componentele.

Toate acestea conduc la necesitatea de a lua în considerare legile de distribuție condiționate.

Definiția. Distribuția unei variabile aleatoare, incluse în sistemul de găsit cu condiția ca o altă valoare aleatoare adoptată anumită valoare, numită legea de distribuție condiționată.

dreptul de distribuție condiționată poate fi definită ca o funcție de densitate de distribuție și de distribuție.

Funcția de densitate condiționată este dată de:

Densitatea de distribuție condiționată are toate proprietățile unei distribuții aleatoare cu densitate variabilă.

așteptare condiționată

Definiția. așteptare Condiționată discrete variabila aleatoare Y la X = x (x - o anumită valoare posibilă a X) este produsul tuturor valorilor posibile ale Y pentru probabilități lor condiționate.

Pentru variabile aleatoare continue:

unde f (y / x) - densitate condiționată a variabilei aleatoare Y la X = x.

așteptare Condiționată M (Y / x) = f (x) este o funcție de x și numita funcție de regresie X pentru Y.

Exemplu. Găsiți așteptarea condiționată de Y

X = x1 = 1 pentru bidimensional variabilă aleatoare discretă dată de tabel:

determinată în mod similar varianța condiționată și momente condiționate de variabile aleatoare

variabile aleatoare dependente și independente

Variabile aleatoare sunt numite independente în cazul în care legea de distribuție a unuia dintre ele nu depinde de ce valoare are o altă variabilă aleatoare.

Conceptul de dependență de variabile aleatoare este foarte importantă în teoria probabilității.

distribuția condiționată de variabile aleatoare independente, egale distribuirea lor necondiționată.

Se determină condițiile necesare și suficiente pentru independența variabilelor aleatoare.

Teorema .Pentru a variabilelor aleatoare X și Y sunt independente, este necesar și suficient ca sistemul de distribuție (X, Y) este egală cu produsul dintre componentele funcțiilor de distribuție.

O teoremă analoagă poate fi formulată pentru distribuția densității:

Teorema .Pentru a variabilelor aleatoare X și Y sunt independente, este necesar și suficient ca densitatea sistemului de distribuție în comun (X, Y) este egală cu produsul distribuției densității componentelor.

Definiția. Mxy corelarea moment al variabilelor aleatoare X și Y este o așteptare matematică a abaterilor de produse ale acestor valori.

practic utilizate cu formula:

Pentru variabilele aleatoare discrete:

Pentru variabile aleatoare continue:

Timpul de corelare este folosit pentru a descrie relația dintre variabile aleatoare. În cazul în care variabilele aleatoare sunt independente, corelarea lor este punctul zero.

Punctul de corelare are o dimensiune egală cu dimensiunile variabilelor aleatoare X și Y. Acest fapt este un dezavantaj al acestei caracteristici numerice, ca atunci când sunt obținute unități diferite perioade diferite de corelare, ceea ce complică compararea diferitelor momente de corelare variabile aleatoare.

Pentru a elimina acest neajuns se aplică o altă caracteristică - coeficientul de corelație.

Definiția. Coeficientul de corelație rxy variabilelor aleatoare X și Y este raportul dintre corelației timp pentru produsul deviațiilor standard ale acestor valori.

Coeficientul de corelație este o cantitate adimensionala. Coeficientul de corelație a variabilelor aleatoare independente este zero.

Proprietate: Valoarea absolută a corelației timp a două variabile aleatoare X și Y este mai mică decât media geometrică a varianțelor.

Proprietate: Valoarea absolută a coeficientului de corelație este mai mică decât unitatea.

Variabile aleatoare sunt numite corelate. în cazul în care timpul de corelare nu este zero, și necorelate. în cazul în care timpul de corelare de la zero.

În cazul în care variabilele aleatoare sunt independente, ele nu sunt corelate, dar sunt necorelate imposibil de a trage o concluzie cu privire la independența lor.

În cazul în care cele două valori sunt independente, ele pot fi fie corelate, sau necorelate.

Adesea, pentru o anumită distribuție de variabile aleatoare poate determina dependența densității sau a independenței acestor variabile.

Împreună cu coeficient de corelație dependență de variabile aleatoare poate fi descrisă și cealaltă cantitate care se numește coeficientul de covarianței. Raportul covariance se determină prin formula:

Exemplu. Având în vedere densitatea de distribuție a variabilelor aleatoare X și Y.

sunt stabili dacă independente aleatoare variabile X și Y.

Pentru a rezolva această problemă, vom converti densitatea de distribuție: