Soluția de rezolvare a inegalităților de gradul al doilea, platforma de conținut

Decizia de a doua inegalitățile de gradul

Inegalitatea gradul al doilea se numește AX2 inegalitate + bx + c> 0 (sau AX2 + bx + c <0. ax2 + bx + c 0. ax2 + bx + c 0 ).

În funcție de semnul discriminantului pătratic polinomul D = B2- necesitatea 4ac de a lua în considerare două cazuri:

În cazul în care D<0. а старший коэффициент а положителен, то при всех значениях х выполняется неравенство ах2 + bх + с> 0. Dacă D> 0. soluții pentru AX2 inegalității + bx + c> 0 nevoia de a fi descompuse în factori AX2 trinom pătrat + bx + c cu formula ax + bx + c = a (x-x1) (x-x2). apoi împărțiți pe ambele părți ale inegalității (x-x1) (x2-x)> 0 și numărul. menținerea semn inegalității în cazul în care un> 0. și schimbarea semnului inegalității este inversată, iar dacă<0. и перейти к неравенству (х-х1)(х-х2)> 0.
Utilizarea în continuare a faptului că produsul a două numere este pozitiv, în cazul în care factorii au același semn (în cazul în care (x-x1) (x-x2) <0. то сомножители имеют противоположные знаки).

Exemplul 1 Pentru a rezolva x2 inegalitatea - 5x + 6> 0.

R e w n e.
x2 - 5x + 6 = 0 ↔ x1 = 2, x1 = 3 → x2 - 5x + 6 = (x2) (x - 3).
De aici x2 - 5x + 6> 0 ↔ (x2) (x - 3)> 0 ↔

↔ ↔ ↔ ↔ x (-; 2) (3).

Notă. doua inegalitate gradul discutat mai sus, de obicei, rezolvate in mod grafic sau prin intervale care sunt discutate mai jos. Cu toate acestea, metodele de mai sus, de asemenea, au dreptul de a exista, de exemplu. K. Ele sunt suficient de simple și clare.

Soluție grafică a inegalității de gradul al doilea:

Graficul funcției pătratice y = AX2 + bx + c este o ramuri parabole îndreptate în sus, în cazul în care a> 0 și în jos atunci când un <0 (иногда говорят, что парабола направлена выпуклостью вниз, если а> 0 și se umfle în sus, și dacă <0 ).
În acest caz, există trei posibilități:

Parabolei intersectează axa 0x (adică ecuația AX2 + bx + c = 0 are două rădăcini distincte ..):

Un parabole are un nod pe axa 0x (adică ecuația AX2 + x + c = 0 este o rădăcină, o așa-numită rădăcină dublă ..):
Parabolei intersectează axa 0x (adică ecuația AX2 + bx + c = 0 nu are rădăcini reale ..):

Exemplul 2. Rezolva inegalitatea x2> 0.

R e w n e. Să considerăm funcția y = x2. Graficul acestei funcții este un parabole ale cărui ramuri sunt îndreptate în sus (în jos parabole convex este îndreptată). Parabolei intersectează axa x la un punct cu abscisa x = 0 deoarece x2 = 0 x = 0 ↔ schița unei parabole y = x2. constatăm că y> 0 pentru x (-; 0) (0;). În figură, setul dorit umbrită.

Exemplul 3. Solve inegalității -2x2 + 3x + 2> 0.

R e w n e. Să considerăm funcția y = -2x2 + 3x + 2. Graficul său este un parabole ale cărui ramuri sunt îndreptate în jos (parabole convexitate îndreptată în sus), t. K. A = -2 <0 .

-2x2 + 3x + 2 = 0 ↔ x1 = - (1/2), x2 = 2.

Reprezentând schematic parabolei y = -2h2 + 3x + 2, constatăm că <0 в каждом из бесконечных промежутков: (- ;1/2). (2;+ ). Искомое множество заштриховано на чертеже.